Glossaire

référentiel

  Curieux  

Une parcelle d'air en mouvement au sein de l'atmosphère peut être considérée comme un objet matériel, possédant une certaine masse et soumis à l'action de différentes forces qui contraignent le "centre" M de cette parcelle à suivre au cours du temps, dans l'espace à trois dimensions, un parcours déterminé par les lois de la thermodynamique et de la mécanique des fluides. Pour décrire ce parcours, appelé la trajectoire du corps matériel que constitue la parcelle, il est nécessaire de connaître à chaque instant la position du point M dans l'espace ; un référentiel est alors l'alliance de deux outils qui assurent cette connaissance, à savoir :

  • un repère géométrique tridimensionnel permettant de spécifier la position de tout point donné M dans l'espace à partir de trois nombres appelés les coordonnées de ce point. L'exemple le plus immédiat d'un tel système de coordonnées, dans les sciences de la Terre, est donné par la longitude, la latitude et l'altitude de M (si l'on assimile la Terre à une sphère), où les axes du repère utilisé se forment et s'orientent par intersection du plan de l'équateur, du méridien de Greenwich et du méridien de longitude 90° est. Un repère de ce type, constitué de trois axes orientés issus d'un même point, mais ne se trouvant pas dans un même plan, est généralement "lié" rigidement à une figure ou un objet de l'espace, par exemple les étoiles, la Terre, un navire se déplaçant en mer, etc. Dès lors que le repère est défini, toute trajectoire peut y être décrite grâce à la connaissance des coordonnées de tous les points qui la composent ;
  • une échelle de temps , qui permet d'associer un instant, c'est-à-dire une date et une heure, à n'importe quel événement de l'espace. Dans toutes les échelles de temps, deux événements sont soit simultanés, soit ordonnés de manière identique, l'un d'eux étant identifié comme ayant précédé l'autre. Grâce à la définition d'une échelle de temps, un instant t peut alors être associé à chaque point d'une trajectoire, complétant ainsi la connaissance du déplacement d'un point M dans l'espace, déplacement qui est décrit par quatre nombres : ses trois coordonnées, et le temps t .

Dans la description du déplacement d'un point M, des formules très simples permettent de passer d'une échelle de temps à une autre ; en revanche, passer d'un premier repère géométrique à un second repère nécessite que l'on connaisse a priori tous les éléments descriptifs du mouvement — dit mouvemnet d'entraînement  — de ce second repère par rapport au premier : par exemple, décrire la trajectoire d'un point dans un repère lié à la Terre, alors qu'on la connaît dans un repère lié aux étoiles, ne peut se faire qu'en tenant compte du mouvement d'entraînement de la Terre par rapport aux étoiles, lequel inclut en premier lieu son mouvement quotidien de rotation autour de l'axe des pôles (la direction de cet axe, elle, reste fixe par rapport aux étoiles). Il est très important de réaliser que cette intervention directe des mouvements entre repères modifie, en général, la forme géométrique des trajectoires en fonction du repère que l'on considère : par exemple, si un train se déplace suivant une ligne de chemin de fer en arc de cercle, un voyageur marchant dans un couloir de ce train a pratiquement pour trajectoire ce même arc de cercle dans un repère lié à la Terre et, dans un repère lié au train, un segment de droite. Or, la mécanique explique la nature des trajectoires suivies par des corps matériels à partir des forces qui s'exercent sur ces corps : par rapport à des repères initiaux liés aux étoiles, pareilles modifications des trajectoires ne peuvent dès lors s'interpréter que par l'introduction de forces particulières, dépendantes du repère considéré et appelées des forces d'inertie ; parmi elles figure la force de Coriolis, qui joue en météorologie un rôle essentiel dans l'explication des mouvements de l'atmosphère.


  Initié  

Le principe d'inertie et la loi de Newton

Comme nous l'avons vu, l'évolution d'un corps matériel (S) dans l'espace, autrement dit la succession d'états et de mouvements que subit ce corps au cours du temps, peut être observée à partir d'un référentiel, conjuguant un repérage temporel à l'aide d'une échelle de temps — qui donne la date et l'heure de l'observation — et un repérage spatial à l'aide d'un trièdre (ω X , ω Y , ω Z) constitué de trois axes ω X , ω Y , ω Z issus du même point origine ω (nous choisirons ces axes orthogonaux deux à deux) ; le référentiel utilisé permet alors de décrire sans ambiguïté la trajectoire de tout point M de l'espace en fournissant à chaque instant t les coordonnées X , Y , Z de M suivant les axes du trièdre associé.

En observant à partir de ce référentiel l'évolution du corps matériel (S), on constate que des actions physiques peuvent déformer ce corps, ou en modifier le mouvement, ou empêcher son déplacement : de telles actions sont des forces. Pour préciser cette notion, il convient d'abord de définir le mieux possible les référentiels utilisés, dont les trièdres, a priori , sont eux-mêmes en mouvement dans l'espace ; or, ce dernier contient des astres perçus comme des objets ponctuels — les étoiles — dont les positions relatives demeurent fixes ou, du moins, varient de manière excessivement lente au cours des siècles : ainsi, les référentiels initialement utilisables seront ceux dont les trièdres restent "liés" aux étoiles (on parle alors de référentiels coperniciens , d'après le nom de l'astronome polonais Nicolas Copernic [1473-1543]) ou plus généralement ceux dont les trièdres se déplacent par rapport aux étoiles en ligne droite et à vitesse constante (on parle alors de référentiels galiléens , d'après le nom du savant italien Galilée). Dans un référentiel galiléen, un corps matériel (S) n'est soumis à aucune force s'il se meut conformément au principe d'inertie , ce qui veut dire qu'il est soit immobile, soit animé lui-même d'un mouvement en ligne droite à vitesse constante ; ce principe s'applique en particulier dans le cas où (S) se réduit à un point matériel M de masse m .

On peut en déduire, à l'inverse, que dans un référentiel galiléen, la présence d'une force F (M) appliquée au point matériel M équivaut à l'existence d'une accélération Γ (M) non nulle affectant le mouvement de M, et il est naturel de penser qu'une telle action, pour provoquer une accélération donnée, devra être d'autant plus puissante que la masse m du point mobile considéré sera plus grande. Le savant anglais Isaac Newton (1642-1727), en posant l'égalité F (M) = m Γ (M), a ainsi établi la relation entre force et mouvement, qui associe deux grandeurs représentables chacune par des flèches (ou vecteurs ) d'origine commune M et de longueurs proportionnelles à leurs valeurs numériques respectives (une fois choisies arbitrairement les unités de longueur) ; la direction et le sens communs aux deux flèches indiquent la direction et le sens pris à la fois par l'accélération du mouvement de M à l'instant t et par l'action que représente la force associée à ce même instant. L'unité usuelle de la valeur numérique d'une force, équivalente en dimension au kg.m.s - 2 , s'appelle le newton (abr. : N) ; pour un corps ponctuel de masse 1 kilogramme qui, dans un référentiel galiléen, se déplace avant l'instant t en ligne droite à vitesse constante, appliquer en ce point à partir de cet instant une force de 1 newton ayant la direction et le sens de sa trajectoire équivaut à lui communiquer à partir de t une accélération de 1 mètre par seconde carrée, ce qui suffira à modifier son mouvement, même s'il poursuit sa course en ligne droite.


Composantes, résultante et centre de masse

Il est à remarquer que le vecteur accélération Γ (M) peut être projeté orthogonalement suivant les trois axes ω X , ω Y , ω Z , fournissant ainsi trois composantes d'un vecteur — ici, celles de Γ (M) — dont celui-ci est alors la résultante. Ces composantes Γ X (M), Γ Y (M), Γ Z (M) ont pour valeurs algébriques Γ X (M), Γ Y (M), Γ Z (M) lorsqu'elles sont rapportées aux unités d'accélération de leurs axes respectifs ; de même, les trois composantes F X (M), F Y (M), F Z (M) de F (M) ont pour valeurs algébriques respectives les nombres F X (M), F Y (M), F Z (M) lorsqu'elles sont rapportées aux unités de force des trois axes ω X , ω Y , ω Z : dans ces conditions, on aura toujours à chaque instant les trois égalités "scalaires" — c'est-à-dire entre nombres — F X (M) = m Γ X (M), F Y (M) = m Γ Y (M), F Z (M) = m Γ Z (M).

D'autre part, supposons que M soit en réalité le "centre" d'une certaine parcelle du corps matériel (S), laquelle a une masse δm très réduite et est de dimension suffisamment petite pour que l'on puisse considérer que l'accélération subie par (S) reste la même en tout point intérieur à cette parcelle. Si l'on scinde le corps (S) de masse constante m en N parcelles de ce type, "centrées" en M 1 , M 2 , ..., M N et de masses respectives δm 1 , δm 2 , ..., δm N (avec δm 1 + δm 2 + ... + δm N = m ), alors, pour tout point A, le centre de masse B de ce corps est un point tel que δm 1 AM 1 + δm 2 AM 2 + ... + δm N AM N = m AB , et l'on montre que cette propriété est indépendante du choix de A (en particulier, δm 1 BM 1 + δm 2 BM 2 + ... + δm N BM N est le vecteur nul). Si nous supposons en outre que A reste fixe dans le référentiel choisi, on peut déduire de la relation précédente, à une équipollence près, les relations δm 1 V 1 (M 1 ) + δm 2 V 2 (M 2 ) + ... + δm N V N (M N ) = m V (B) pour ce qui est du champ de vitesse V (la vitesse étant elle aussi un vecteur, comme la force et l'accélération), puis δm 1 Γ 1 (M 1 ) + δm 2 Γ 2 (M 2 ) + ... + δm N Γ N (M N ) = m Γ (B) pour le champ d'accélération Γ , et enfin F 1 (M 1 ) + F 2 (M 2 ) + ... + F N (M N ) = m Γ (B) pour le champ de force F : par conséquent, la "loi de la dynamique" peut s'exprimer en énonçant que la résultante des forces auxquelles est soumis un corps de masse constante est égale au produit de cette masse par l'accélération que subit le centre de masse de ce corps. (La conclusion précédente serait valable a fortiori si le corps matériel (S) se composait simplement d'un certain nombre N de points matériels M 1 , M 2 , ..., M N de masses respectives m 1 , m 2 , ..., m N , avec m 1 + m 2 + ... + m N = m .) L'application de pareille loi à une parcelle d'air fournit, par projection suivant les trois axes d'un référentiel lié à la Terre, trois des équations de la météorologie, pourvu que l'on sache recenser et exprimer l'ensemble des forces (dont les forces d'inertie) qui, dans ce référentiel, agissent de façon non négligeable sur le centre de masse de cette parcelle.


  Expert  

Les lois du mouvement et les moments

 En termes de dérivée totale par rapport au temps t , on peut transcrire par la simple égalité F = d P / dt la loi fondamentale de la dynamique, appliquée à un point matériel M de masse m soumis à une force F et se déplaçant à la vitesse V sur une trajectoire (C) dans le référentiel (R), où sa quantité de mouvement est donc P = m V . Précisément, considérons le moment cinétique λ = OM Λ P de M par rapport à un point fixe O de (R) : on obtient aussitôt d ( OM Λ P ) / dt = ( d OM / dt ) Λ P + OM Λ ( d P / dt ) ; or, d OM / dt n'est autre que la vitesse V qui, étant colinéaire à P si elle n'est pas nulle, rend de toute façon égale à 0 la grandeur ( d OM / dt ) Λ P : comme d'autre part d P / dt = F , il vient l'égalité d λ / dt = OM Λ F . Appelons ξ ce moment OM Λ F de la force F par rapport au point O : la relation ξ = d λ / dt entre le moment de la force F appliquée au point matériel M et le moment cinétique de ce point matériel constitue une autre expression de la loi de la dynamique, dont on peut se demander si elle n'aurait pas son utilité lorsqu'on a à traiter non plus d'un point matériel, mais d'un corps matériel S de masse m , du fait qu'elle y ferait intervenir les distances mutuelles des points de S. Nous savons à ce sujet que l'on peut toujours décomposer un tel corps en un ensemble de N parties assimilables — exactement ou approximativement — à N points matériels M 1 , M 2 , ..., M N de masses constantes, respectivement soumis à N forces F 1 , F 2 , ..., F N (dont certaines peuvent être nulles) et pourvus des quantités de mouvement P 1 , P 2 , ..., P N . Alors, la loi de la dynamique appliquée aux N points considérés fournit les égalités F 1 = d P 1 / dt , F 2 = d P 2 / dt , ..., F N = d P N / dt qui, en s'additionnant, aboutissent à la loi F = d P / dt , dans laquelle F et P sont les résultantes respectives de F 1 , F 2 , ..., F N et de P 1 , P 2 , ..., P N et ont pour point d'application commun le centre de masse B du corps matériel S : cette loi permet donc de décrire le mouvement de B ; mais qu'en est-il pour les autres éléments du corps S, qui "ajoutent" chacun un mouvement supplémentaire autour du mouvement moyen de S, tel que le traduit la trajectoire de B ?

 

Pour répondre au moins partiellement à cette question, reprenons les moments ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ N des forces F 1 , F 2 , ..., F N et les moments cinétiques λ 1 , λ 2 , ..., λ N des points matériels M 1 , M 2 , ..., M N par rapport au point O : en additionnant les relations ξ 1 = d λ 1 / dt , ξ 2 = d λ 2 / dt , ..., ξ N = d λ N / dt , on aboutit à l'expression Ξ O = d Λ O / dt , qui établit une relation d'évolution entre le moment Ξ O du système des forces F 1 , F 2 , ..., F N appliquées à S et le moment cinétique Λ O de S, ces deux moments étant définis par rapport à O. Remarquons que bien que B ne soit pas un point fixe dans le référentiel (R), l'expression précédente est également valable si l'on définit les moments par rapport à B : en effet, l'égalité Ξ O = d Λ O / dt a pour conséquence la relation Ξ B + OB Λ F = d ( Λ B + OB Λ P ) / dt , dont le second membre est la somme des trois termes d Λ B / dt , V Λ P — égal à 0 , puisque la vitesse V du centre de masse est soit nulle, soit colinéaire à sa quantité de mouvement P — et OB Λ ( d P / dt ) — égal à OB Λ F , puisque F = d P / dt ; on a donc aussi bien l'expression Ξ B = d Λ B / dt . L'ensemble des deux relations F = d P / dt et Ξ B = d Λ B / dt (ou Ξ O = d Λ O / dt ) suffit toujours à décrire le mouvement d'un corps matériel S considéré comme un système dynamique auquel sont appliquées les forces F 1 , F 2 , ..., F N — nous admettrons qu'en fait, on peut ne tenir compte que des forces externes — , pourvu seulement que S soit un corps solide et que l'on connaisse à un instant donné les positions et les vitesses des points M 1 , M 2 , ..., M N désignés comme étant les centres des N parties (de masses respectives δm 1 , δm 2 , ..., δm N , avec δm 1 + δm 2 + ... + δm N = m ) en lesquelles on l'a décomposé : la première de ces relations décrit le mouvement d'ensemble de S à travers celui de son centre de masse B, et la seconde précise quels peuvent être les mouvements secondaires des points de S dans un référentiel qui serait lié à B. Ces relations ne sont pas suffisantes, en revanche, pour décrire le mouvement d'un corps matériel non solide — telle une parcelle d'air — , sinon pendant un intervalle de temps très court ; néanmoins, la relation entre les moments met en évidence un résultat important, indépendant de la nature du corps matériel S : si le système que constitue celui-ci est isolé — de sorte qu'aucune force externe ne s'exerce sur lui — , son moment cinétique Λ B (ou Λ O ) se conserve (ce résultat est également valable si des forces externes s'exerçant sur S existent, mais sont de moment résultant nul).

Les effets de la conservation du moment cinétique

Lorsque le corps matériel S est, au moins pendant un très bref délai, assimilable à un corps solide, chacun des points M 1 , M 2 , ..., M N , pour se mouvoir à sa vitesse propre V 1 , V 2 , ..., V N , ajoute une vitesse supplémentaire V R (M 1 ), V R (M 2 ), ..., V R (M N ) de module v 1 , v 2 , ..., v N à la vitesse V du centre de masse B de S, et cette vitesse supplémentaire, à un instant donné t , se répartit autour d'un axe instantané de rotation u'u portant le tourbillon de S en B, qui est un vecteur de point d'application B et de valeur numérique 2 ω , où ω désigne la vitesse angulaire de rotation instantanée de S autour de u'u à l'instant t . Le moment cinétique de S par rapport à l'axe u'u peut alors être calculé en faisant correspondre aux points M 1 , M 2 , ..., M N leurs projections orthogonales H 1 , H 2 , ..., H N sur cet axe et en appelant r 1 , r 2 , ..., r N les longueurs respectives des segments de droite H 1 M 1 , H 2 M 2 , ..., H N M N . À l'instant fixé, en effet, les éléments de S peuvent être considérés comme ajoutant à leur mouvement de translation à la vitesse V un mouvement de rotation autour de l'axe u'u , qui s'effectue à la vitesse angulaire de rotation ω suivant des cercles de centres H 1 , H 2 , ..., H N , de rayons r 1 , r 2 , ..., r N , situés dans des plans orthogonaux à u'u ; alors, les vitesses supplémentaires V R (M 1 ), V R (M 2 ), ..., V R (M N ) sont situées dans ces plans respectifs et fournissent des quantités de mouvement P R (M 1 ), P R (M 2 ), ..., P R (M N ) qui s'additionnent aux quantités de mouvement de translation P' 1 = δm 1 V , P' 2 = δm 2 V , ..., P' N = δm N V pour donner aux éléments de S leurs quantités de mouvement totales P 1 = δm 1 V 1 , P 2 = δm 2 V 2 , ..., P N = δm N V N . Or, la résultante des moments cinétiques par rapport à u'u dus aux mouvements de translation est nulle, puisqu'il en va de même de la résultante des moments cinétiques par rapport à B dus à ces mêmes mouvements de translation : en effet, BM 1 Λ P' 1 + BM 2 Λ P' 2 + ... + BM N Λ P' N a pour expression le produit vectoriel ( δm 1 BM 1 + δm 2 BM 2 + ... + δm N BM N ) Λ V , dont le premier terme est nul. Ainsi, l'expression du moment cinétique du corps S par rapport à l'axe u'u à l'instant t se réduit à la sommation des moments cinétiques par rapport à cet axe des points M 1 , M 2 , ..., M N pourvus à cet instant des quantités de mouvement P R (M 1 ), P R (M 2 ), ..., P R (M N ), égales respectivement à δm 1 V R (M 1 ), δm 2 V R (M 2 ), ..., δm N V R (M N ).

Prenons l'exemple du premier point, M 1 : son moment cinétique par rapport à u'u peut être calculé à partir de H 1 et est alors égal à H 1 M 1 Λ [ δm 1 V R (M 1 )], puisque ce vecteur, parallèle à l'axe u'u , est égal à sa propre projection orthogonale sur cet axe ; son module est δm 1 r 1 v 1 , c'est-à-dire — sachant que la vitesse d'un point en rotation uniforme sur un cercle a pour valeur numérique le produit du rayon de ce cercle par la vitesse angulaire de rotation de ce point — δm 1 ( r 1 ) 2 / ω /, où / ω / désigne la valeur absolue de ω . Appelons n le vecteur unitaire de l'axe u'u , défini à une équipollence près le long de u'u et ayant pour module l'unité de longueur et pour sens celui de cet axe (le tourbillon est équipollent à 2 ω n ) : on constate que pour un observateur allongé dans le sens de u'u , les pieds placés en H 1 , le signe de la vitesse angulaire de rotation ω (déterminé par la position de V R (M 1 ) par rapport à H 1 M 1 ) et celui de la valeur numérique suivant u'u du produit vectoriel H 1 M 1 Λ V R (M 1 ) sont les mêmes ; le moment cinétique de M 1 par rapport à u'u admet donc en fin de compte l'expression ω δm 1 ( r 1 ) 2 n . Ainsi, le moment cinétique à l'instant t d'un corps matériel solide (ou assimilable à un corps solide) par rapport à l'axe de rotation instantanée u'u , de vecteur unitaire n , autour duquel il tourne à la vitesse angulaire de rotation instantanée ω , est égal à ω [ δm 1 ( r 1 ) 2 + δm 2 ( r 2 ) 2 + ... + δm N ( r N ) 2 ] n . Ce corps matériel S — ensemble de N points matériels, ou corps continu que l'on imagine scindé en un grand nombre N de parcelles, ou association de tels points matériels et de tels corps continus — est représenté par les N points M 1 , M 2 , ..., M N respectivement affectés des masses δm 1 , δm 2 , ..., δm N et situés aux distances r 1 , r 2 , ..., r N de l'axe de rotation instantanée u'u à l'instant t ; prenons en compte à cet instant une quantité positive caractéristique de la forme et de la rotation de S, son moment d'inertie J(S, t ) par rapport à u'u , qui est égal par définition à δm 1 ( r 1 ) 2 + δm 2 ( r 2 ) 2 + ... + δm N ( r N ) 2 et qui a la dimension d'une masse multipliée par le carré d'une longueur (au contraire des autres "moments", cette quantité est une grandeur scalaire) : alors, le moment cinétique de S par rapport à l'axe u'u aura pour expression ω J(S, t ) n .

Cette expression trouve une application particulière dans le cas du déplacement d'un corps matériel isolé S, tant que les positions S( t ), S( t' ), S( t'' )... de ce corps lors d'instants successifs t , t' , t'' ... peuvent en première approximation être assimilées à celles de corps solides dont les axes de rotation instantanée respectifs garderaient une direction (Δ) à peu près constante : le moment cinétique Λ B du corps S par rapport à B restant constant, il en va de même de la projection orthogonale de ce moment sur (Δ) et donc du moment cinétique de S par rapport aux axes de rotation instantanée successifs ; on constate dans ce cas l'existence d'un degré de liberté dans la disposition interne des éléments de S, qui peuvent tantôt se rapprocher globalement de l'axe de rotation — alors, la vitesse angulaire de rotation ω augmente, puisque le moment d'inertie J(S, t ) diminue — , tantôt s'en éloigner globalement — alors, la vitesse angulaire de rotation diminue. C'est là ce qui survient en particulier lorsqu'un corps matériel quelconque S est soumis uniquement à un mouvement de rotation autour d'un axe fixe u'u , à la condition que ce corps puisse être considéré comme isolé ; un exemple souvent cité de telles possibilités est celui des accélérations et décélérations de la vitesse avec laquelle un patineur sur glace tournoie sur lui-même en un point fixe de la patinoire : si l'on néglige le frottement des patins sur la glace, le patineur forme un système isolé (l'action de son poids est compensée par la réaction du sol), et il lui suffira d'étendre les bras pour diminuer sa vitesse de rotation, ou de les ramener sur soi pour l'augmenter.