Glossaire

équation hydrostatique

  Curieux  

Dire qu'un fluide tel que l'eau ou l'air est "au repos" ou, plus précisément, en équilibre statique dans une zone donnée (cette zone pouvant aussi bien être l'océan ou l'atmosphère dans leur ensemble qu'un contenant réel ou virtuel de dimensions modestes) revient à dire que ce fluide n'est animé d'aucun mouvement, ni horizontal, ni vertical, par rapport à la Terre. Pour qu'il puisse en être ainsi, il faut que la pression p du fluide prenne la même valeur pour tous les points de la zone considérée qui sont à la même altitude z . (On peut remplacer z , quand elle est négative, par la profondeur u égale à - z , dans la mer par exemple ; on peut aussi la remplacer par une hauteur ou une épaisseur h égale à z - z 0 , où l'altitude de référence z 0 est choisie a priori de façon à correspondre à une hauteur ou une épaisseur nulle.) Considérons alors deux plans horizontaux traversant le fluide et choisis très proches l'un de l'autre, la différence — positive — d'altitude dz qui les sépare étant très faible : la pression du fluide sur le plus élevé des deux plans est moindre que la pression régnant sur le plan moins élevé, mais la différence — négative — entre les pressions sur les premier et second plans, soit dp , peut être supposée très faible elle aussi ; d'autre part, l'accélération de la pesanteur g est pratiquement constante dans la couche située entre ces deux plans. L'équation hydrostatique exprime alors le fait que le rapport négatif dp / dz a une valeur bien déterminée qui, en chaque point de cette couche, égale le produit du nombre - g par la valeur de la masse volumique ρ du fluide en ce point. (On peut remplacer dz par l'opposé de la différence de profondeur du ou par la différence de hauteur ou d'épaisseur dh : au lieu de la relation dp = - ρ g dz viendront alors les relations équivalentes dp = ρ g du ou dp = - ρ g dh .)

L'équation hydrostatique montre que dans un fluide au repos, la masse volumique, tout comme la pression, reste constante à altitude donnée. On peut présumer qu'il en va de même pour la température du fluide : cette assertion, pour les liquides, résulte de ce qu'ils sont quasiment incompressibles — à une valeur donnée de la température correspond alors une seule valeur de la masse volumique — tandis que pour les gaz, elle est immédiatement vérifiée à travers l'équation d'état des gaz parfaits. Pareille uniformité de la répartition de la masse volumique et de la température suivant l'horizontale n'empêche pas à un instant donné, dans une zone de fluide au repos, une variation spatiale de ces deux grandeurs suivant la verticale ; elle n'empêche pas non plus une évolution des valeurs prises en chaque point de la zone par la pression, la température et la masse volumique, pourvu que ces valeurs restent uniformément réparties suivant l'horizontale et respectent continuellement l'équation hydrostatique.

En réalité, cette équation traduit l'exacte opposition des forces agissant verticalement vers le haut — la poussée d'Archimède — et vers le bas — le poids — sur une parcelle de fluide en équilibre statique. Or, on vérifie que dans l'atmosphère, les composantes verticales des autres forces susceptibles d'agir sur une parcelle d'air restent négligeables en comparaison de ces deux forces opposées, tandis que les accélérations verticales subies par une telle parcelle sont elles-mêmes très réduites, du moins si l'on se place à une échelle spatio-temporelle suffisamment grande et si le frottement demeure faible ; on peut en déduire que l'équation hydrostatique est valable dans le cas de l'air, à l'échelle synoptique en particulier, bien que l'atmosphère ne soit jamais en équilibre statique (même dans une atmosphère barotrope , donc dépourvue de mouvement vertical, il subsisterait en effet un mouvement horizontal) : ce constat trouve un très large écho en météorologie à travers l'hypothèse hydrostatique, qui admet que l'équation hydrostatique, à grande échelle, est applicable à l'atmosphère.


  Initié  

Afin d'examiner les conditions de mouvement ou d'équilibre d'un fluide tel que l'eau ou l'air en un point M situé à l'altitude z dans un environnement proche de la surface terrestre, utilisons un référentiel lié à la Terre : celui-ci, au cours du temps t , sera constitué par un trièdre orthonormé direct (O x , O y , O z ) dans lequel l'origine O est située sur la surface du niveau moyen de la mer, l'axe O z coïncidant avec la verticale en O orientée vers le zénith ; M est supposé suffisamment proche de ce dernier axe pour que la perpendiculaire au plan (O x , O y ) issue de M puisse être confondue avec la verticale passant par M, et les coordonnées de M suivant les axes O x , O y , O z sont donc respectivement son abscisse x , son ordonnée y et sa cote z , qui est aussi son altitude. Si δx , δy , δz sont trois nombres positifs, un parallélépipède de centre M peut être défini à partir des plans verticaux parallèles au plan (O y , O z ) d'abscisses respectives x - δx et x + δx , des plans verticaux parallèles au plan (O z , O x ) d'ordonnées respectives y - δy et y + δy et des plans horizontaux de cotes respectives z - δz et z + δz ; dans le domaine (D) limité par ce parallélépipède, les centres des rectangles constituant les faces horizontales la plus élevée et la moins élevée seront notés respectivement par N et N'.

Si les longueurs δx , δy et δz sont choisies suffisamment petites, on peut estimer :
 

  • que la pression varie linéairement le long du segment NN', de sorte que si elle adopte les valeurs p en M et p + δ z p en N, où δ z p est petit, elle aura la valeur p - δ z p en N' ;
  •  
  • que le milieu fluide extérieur au domaine (D) exerce sur ce domaine suivant sa face horizontale la plus élevée, par exemple, une force qui a pour point d'application N, pour direction celle de NN' (perpendiculaire en N à cette face), pour sens celui de N vers M (car la pression exercée par l'extérieur agit ici de haut en bas) et pour intensité 4 ( p + δ z p ) δx δy , produit de l'aire de cette face par la pression en N.


  • De même, la force exercée par l'extérieur du fluide sur (D) suivant la face horizontale la moins élevée s'applique en N', est dirigée verticalement du bas vers le haut et a pour intensité 4 ( p - δ z p ) δx δy : la résultante des deux forces exercées sur (D) suivant ses faces horizontales est donc assimilable à une force appliquée en M, portée par la verticale en ce point, et telle que sa valeur numérique (algébrique) suivant l'axe O z est égale à 4 ( p - δ z p ) δx δy - 4 ( p + δ z p ) δx δy , soit - 8 δ z p δx δy ; le sens de cette force de pression verticale F pz dépend du signe de δ z p (elle est dirigée vers le haut si δ z p < 0).="" de="" la="" même="" façon,="" on="" mettrait="" en="" évidence="" que="" s'exercent="" respectivement="" dans="" les="" directions="" des="" axes="" o="">x et O y deux forces de pression horizontales F px et F py appliquées en M et de valeurs numériques - 8 δ x p δy δz et - 8 δ y p δz δx , les petites variations de pression δ x p et δ y p étant telles que les pressions aux points de coordonnées ( x + δx , y , z ) et ( x , y + δy , z ) ont pour valeurs p + δ x p et p + δ y p .

 

Les trois forces F px , F py , F pz marquant l'action de la pression du milieu extérieur sur le domaine (D) suivant les trois directions du trièdre (O x , O y , O z ) ont une résultante F p appliquée en M, qui traduit la force de pression globale exercée par l'extérieur sur (D) à chaque instant t . En ce même instant, la parcelle élémentaire de fluide constituée par (D) est soumise à d'autres forces externes, et c'est la combinaison de ces forces avec F p qui déterminera dans (O x , O y , O z ) le mouvement de M et, éventuellement, son équilibre.


Les conditions de l'équilibre statique en un fluide

Reprenons la description précédente en rappelant que la parcelle élémentaire (D) de fluide est limitée par un parallélépipède rectangle dont les côtés ont pour longueurs respectives 2 δx , 2 δy , 2 δz ; le volume élémentaire δU de (D) est ainsi égal à 8 δx δy δz , et sa masse a pour valeur ρ δU . Les forces externes appliquées en M et agissant sur la parcelle (D) sont alors :
 

  • la force de pression F p . Comme nous venons de le voir, les composantes F px , F py , F pz de cette force suivant les trois axes O x , O y , O z ont respectivement pour valeurs numériques - ( δ x p / δx ) δU , - ( δ y p / δy ) δU , - ( δ z p / δz ) δU , où les trois nombres δ x p , δ y p , δ z p sont tels que les pressions aux points de coordonnées ( x + δx , y , z ), ( x , y + δy , z ), ( x , y , z + δz ) sont respectivement égales à p + δ x p , p + δ y p , p + δ z p ;
  •  

  • le poids P de la parcelle (D), combinaison de la force de gravité exercée par la Terre et de la force centrifuge associée au mouvement de rotation de la planète autour de l'axe des pôles. Ce poids s'exerce verticalement du haut vers le bas et a donc une valeur numérique (négative) égale à - ρ g δU suivant l'axe O z ;
  •  

  • la force de Coriolis F C associée au déplacement de M par rapport au trièdre (O x , O y , O z ). Si V est la vitesse de ce déplacement, et si Ω est le vecteur décrivant la rotation terrestre (il est porté par la parallèle en M à l'axe des pôles, orienté du Sud au Nord et d'intensité égale à la vitesse angulaire de rotation de la Terre), alors F C est orthogonale à V et à Ω , telle que le trièdre ( V , Ω , F C ) d'origine M est direct, et elle a pour intensité le double du produit de trois grandeurs : l'intensité de V , celle de Ω et le sinus (positif ou nul) de l'angle ( V , Ω ). Si V est nulle, il en va de même de F C ;
  •  

  • éventuellement, enfin, la force de frottement F f , qui se manifeste lorsque le fluide est suffisamment proche d'une surface de séparation. F f s'oppose au mouvement décrit par V (sans être de même direction que celle-ci) et s'annule quand V est nulle.

 

Examinons maintenant le cas d'une région donnée (R) du fluide. Dire que, pendant un certain intervalle de temps, ce fluide est en équilibre statique dans (R), c'est dire que, durant cet intervalle, V est nulle en chacun des points M de (R). Il en est alors de même de F C et de F f , et pour que l'absence de mouvement au sein de (R) soit réalisée, il faut déjà que les forces de pression horizontales F px et F py y soient nulles, c'est-à-dire que les conditions δ x p / δx = 0 et δ y p / δy = 0 y soient partout satisfaites : tel sera le cas si, pour z donné, p prend partout dans (R) la même valeur ; or, on démontre que cette dernière condition, suffisante, est également nécessaire dès lors que (R) n'est plus seulement, comme (D), un domaine infinitésimal.

Ainsi, dans un fluide immobile, les surfaces de pression constante sont obligatoirement les surfaces d'altitude (ou de profondeur) constante ; en particulier, dans une atmosphère en équilibre statique, les surfaces isobares seraient identiques aux surfaces horizontales. Il reste cependant à traduire l'absence de mouvement vertical dans (R) en écrivant que l'effet de la force de pression verticale F pz y compense partout celui du poids P , soit - ( δ z p / δz ) δU = - (- ρ g δU ), ou encore : δ z p = - ρ g δz . C'est cette relation qui représente l'équation hydrostatique ; on peut la récrire exactement en remarquant qu'à un instant t donné, p n'est plus alors fonction que de z , et en introduisant la notation différentielle dp / dz pour la dérivée de cette fonction : dans ces conditions, l'équation hydrostatique prendra simplement la forme

dp = - ρ g dz .

 


  Expert  

Supposons qu'une colonne verticale, de base horizontale, soit emplie d'un gaz parfait à l'état d'équilibre statique, de sorte que pour chaque surface d'altitude z constante sa pression p, sa température absolue T et sa masse volumique ρ prennent chacune sur cette surface une valeur unique. La combinaison de l'équation hydrostatique dp = - ρ g dz (où g représente l'accélération de la pesanteur ) et de l'équation d'état des gaz parfaits p = ρ R T (où la valeur de la constante R dépend du choix du gaz) conduit à la relation

dz = - ( R / g ) T ( dp / p ).

Dès lors, et à condition que l'on connaisse ou que l'on néglige les variations verticales de g , la donnée d'une loi de variation de T en fonction de p déterminera par intégration la valeur de l'altitude z associée à toute valeur p de la pression dans la colonne. Cette remarque revêt un intérêt immédiat en météorologie où, conformément à l'hypothèse hydrostatique, on admet que l'équation hydrostatique est applicable au moins à l'échelle synoptique ; cette hypothèse revient à affirmer que les distributions de z , p , T et ρ à la verticale d'un site de mesure ou de prévision en altitude sont les mêmes que celles d'un air en équilibre statique qui serait inclus dans une colonne verticale entourant ce site et ayant pour base la surface du niveau moyen de la mer : or, compléter cette hypothèse par une loi de variation de T en fonction de p permet de fournir alors une bonne approximation de l'altitude des surfaces isobares en fonction de la pression atmosphérique qui y règne, du moins si cette loi est judicieusement choisie.

Il se trouve que l'usage des tracés de radiosondage sur les émagrammes fournit implicitement l'expression d'une telle loi : entre deux relevés de mesures successifs p 0 , T 0 et p 1 , T 1 de p et T , en effet, la variation de T en fonction de p est toujours figurée par un segment de droite reliant les points ( p 0 , T 0 ) et ( p 1 , T 1 ) de l'émagramme, ce qui équivaut à affirmer que lorsque p décroît de p 0 à p 1 (ou lorsque z croît de z 0 à z 1 ), T varie linéairement avec le logarithme népérien de p , soit T = k ln p + l , où les constantes k , l diffèrent généralement d'un segment de droite à l'autre ; on en déduit aussitôt la relation k dp / p = dT . Au sein de la portion de colonne verticale allant des altitudes z 0 à z 1 , la formule ci-dessus se récrit alors sous la forme k dz = - ( R / g ) T dT , d'où, par intégration de z 0 à z — si l'on suppose constant en première approximation le nombre R / g — , l'égalité k ( z - z 0 ) = - ( R / g ) ( T - T 0 ) ( T + T 0 ) / 2. Mais d'une part, - ( T - T 0 ) est égal à k ln ( p 0 / p ) ; d'autre part, on peut poser ( T + T 0 ) / 2 = T M , où T M est par définition la température moyenne de la couche atmosphérique comprise entre les pressions p 0 et p au-dessus du site. En définitive, on obtient ainsi la formule donnant l'altitude z de la surface isobare associée à chaque point ( p , T ) sur le tracé de l'émagramme ; cette formule de Laplace , due à l'astronome, mathématicien et physicien français Pierre Simon de Laplace (1749-1827), propose un "modèle" d'atmosphère à travers l'expression

z - z 0 = ( R / g ) T M ln ( p 0 / p )

En fait, ni R ni g ne sont constants, et pour qu'on puisse leur attribuer respectivement la valeur R a de R relative à l'air sec et la valeur moyenne g s de g , il faut remplacer la température T et l'altitude z par deux quantités très voisines, la température virtuelle T v et l'altitude géopotentielle Z. Sous cette réserve, la formule de Laplace — grâce à laquelle est calculée la pression réduite au niveau de la mer — permet de confirmer certains aspects de la "topographie" atmosphérique, et au premier chef le fait qu'une couche d'air comprise entre deux surfaces isobares est d'autant plus épaisse que sa température moyenne est plus élevée.

 

 

  • la force de pression F p . Comme nous venons de le voir, les composantes F px , F py , F pz de cette force suivant les trois axes O x , O y , O z ont respectivement pour valeurs numériques - ( δ x p / δx ) δU , - ( δ y p / δy ) δU , - ( δ z p / δz ) δU , où les trois nombres δ x p , δ y p , δ z p sont tels que les pressions aux points de coordonnées ( x + δx , y , z ), ( x , y + δy , z ), ( x , y , z + δz ) sont respectivement égales à p + δ x p , p + δ y p , p + δ z p ;
  •  

  • le poids P de la parcelle (D), combinaison de la force de gravité exercée par la Terre et de la force centrifuge associée au mouvement de rotation de la planète autour de l'axe des pôles. Ce poids s'exerce verticalement du haut vers le bas et a donc une valeur numérique (négative) égale à - ρ g δU suivant l'axe O z ;
  •  

  • la force de Coriolis F C associée au déplacement de M par rapport au trièdre (O x , O y , O z ). Si V est la vitesse de ce déplacement, et si Ω est le vecteur décrivant la rotation terrestre (il est porté par la parallèle en M à l'axe des pôles, orienté du Sud au Nord et d'intensité égale à la vitesse angulaire de rotation de la Terre), alors F C est orthogonale à V et à Ω , telle que le trièdre ( V , Ω , F C ) d'origine M est direct, et elle a pour intensité le double du produit de trois grandeurs : l'intensité de V , celle de Ω et le sinus (positif ou nul) de l'angle ( V , Ω ). Si V est nulle, il en va de même de F C ;
  •  

  • éventuellement, enfin, la force de frottement F f , qui se manifeste lorsque le fluide est suffisamment proche d'une surface de séparation. F f s'oppose au mouvement décrit par V (sans être de même direction que celle-ci) et s'annule quand V est nulle.

 

Examinons maintenant le cas d'une région donnée (R) du fluide. Dire que, pendant un certain intervalle de temps, ce fluide est en équilibre statique dans (R), c'est dire que, durant cet intervalle, V est nulle en chacun des points M de (R). Il en est alors de même de F C et de F f , et pour que l'absence de mouvement au sein de (R) soit réalisée, il faut déjà que les forces de pression horizontales F px et F py y soient nulles, c'est-à-dire que les conditions δ x p / δx = 0 et δ y p / δy = 0 y soient partout satisfaites : tel sera le cas si, pour z donné, p prend partout dans (R) la même valeur ; or, on démontre que cette dernière condition, suffisante, est également nécessaire dès lors que (R) n'est plus seulement, comme (D), un domaine infinitésimal.

Ainsi, dans un fluide immobile, les surfaces de pression constante sont obligatoirement les surfaces d'altitude (ou de profondeur) constante ; en particulier, dans une atmosphère en équilibre statique, les surfaces isobares seraient identiques aux surfaces horizontales. Il reste cependant à traduire l'absence de mouvement vertical dans (R) en écrivant que l'effet de la force de pression verticale F pz y compense partout celui du poids P , soit - ( δ z p / δz ) δU = - (- ρ g δU ), ou encore : δ z p = - ρ g δz . C'est cette relation qui représente l'équation hydrostatique ; on peut la récrire exactement en remarquant qu'à un instant t donné, p n'est plus alors fonction que de z , et en introduisant la notation différentielle dp / dz pour la dérivée de cette fonction : dans ces conditions, l'équation hydrostatique prendra simplement la forme

dp = - ρ g dz .