Glossaire

flux

  Curieux  

La notion de flux est très générale et apparaît dès que l'on cherche à caractériser dans le temps ou l'espace, au sens propre ou au sens figuré, des propriétés observables ou quantifiables qui semblent comme "portées" par un courant fluide ; ainsi cette notion s'emploie-t-elle avec des définitions variées dans de nombreuses sciences, comme les mathématiques, l'optique, l'électromagnétisme, la biologie, l'économie... Du fait de cette diversité, la signification du terme "flux" reste des plus confuses dans des domaines d'application polyvalents tels que la météorologie, où ce terme associe librement, d'une part, le transport de propriétés géométriques, physiques, chimiques ou biologiques par un fluide en mouvement — pratiquement, l'eau ou l'air — et d'autre part deux questions qui, quoique souvent liées dans les situations concrètes, n'en sont pas moins bien différentes au départ, à savoir :
 

  • à quelle vitesse la propriété considérée est-elle transportée grâce au mouvement du fluide ?

  •  
  • avec quelle intensité cette propriété (identifiée à une grandeur mesurable ou repérable) traverse-t-elle une surface donnée rencontrée par le fluide ?

 

Lorsque la propriété étudiée est assimilée à une grandeur extensive G (par exemple un nombre de particules, une masse d'un corps chimique, une forme d'énergie, etc.), certaines réponses à ces questions apparaissent d'emblée. Ainsi, dans le cas particulier où G est une grandeur conservative, la vitesse avec laquelle elle est transportée en un point M (considéré comme le centre d'une parcelle du fluide) est la vitesse V (M) du courant en M ; quant au cas général, l'"intensité" avec laquelle G passe au travers de la surface donnée (S) entre les instants successifs t - Δ t et t peut s'évaluer par son "flux moyen" à travers (S) entre les instants t - Δ t et t : ce flux a pour expression Φ = Δ G / Δ t , où Δ G mesure la quantité de la grandeur G ayant traversé (S) durant l'intervalle de temps Δ t .

On passe du flux moyen au "flux instantané" en supposant que Δ t devient très petit. Dans ce cas, prenons sur (S) un point P, centre d'une surface (δS) d'aire δS qui est une portion élémentaire de (S), et posons qu'au point P et à l'instant t , la densité de G — c'est-à-dire sa quantité (positive, nulle ou négative) par unité de volume — et la vitesse du fluide sont respectivement égales à µ (P) et à V (P) : on peut alors montrer que le flux δΦ (P) de G à travers (δS) à l'instant t est égal à w (P) δS , où le vecteur W (P) égale µ (P) V (P) et où w (P) est la valeur de la composante de ce vecteur suivant la perpendiculaire en P à (S), mesurée positivement ou négativement selon l'orientation de cette perpendiculaire, qui définit si le flux traversant (δS) est un flux sortant ou un flux entrant ; la valeur Φ du flux total de G à travers (S) à l'instant t s'obtiendra par suite en "découpant" la surface (S) en autant de surfaces (δS 1 ), (δS 2 ), (δS 3 )... qu'il est nécessaire et en faisant la somme Φ = w (P 1 ) δS 1 + w (P 2 ) δS 2 + w (P 3 ) δS 3 + ... des flux élémentaires δΦ (P 1 ), δΦ (P 2 ), δΦ (P 3 )... correspondants. Cette seconde définition du flux, où G n'intervient pas explicitement, est plus généralement applicable à toute autre grandeur intensive pouvant se représenter dans l'espace sous la forme d'un vecteur — également désigné ici par W (P) — , comme c'est le cas pour la quantité de mouvement, le tourbillon, la vitesse de transport d'une propriété, etc. : elle offre donc une extension de la mesure de l'"intensité" avec laquelle une surface donnée est traversée par une propriété, décrite cette fois par un champ de vecteurs. Des extensions encore plus larges, et qui ne sont pas rares en météorologie, consistent à entendre par "flux", précisément, un champ donné de vecteurs lié au mouvement de l'air, ou bien ce mouvement lui-même, tel que le révèle le champ de vent.


  Initié  

Observons un courant fluide qui traverse une surface (S) donnée — ou qui est reçu par (S), ou émis par (S) : avant qu'une parcelle élémentaire de ce fluide, centrée en M, n'ait rencontré (S), la trajectoire (C) de M se trouve dans un sous-espace que nous dénommerons "sous-espace 1", puis, la première ou la seule fois que cette trajectoire a traversé (S), le point M entre dans un sous-espace que nous dénommerons "sous-espace 2" ; la surface (S) divise ainsi son propre environnement spatial en deux sous-espaces auxquels correspondent respectivement les deux faces de (S), dénommées "face 1" et "face 2". (Si le courant est reçu par la surface (S), le "sous-espace 1" et la "face 1" sont ceux de la réception ; s'il est émis par elle, le "sous-espace 2" et la "face 2" sont ceux de l'émission.)

Dans les cas les plus courants, (S) est suffisamment voisine d'une surface plane, et les trajectoires (C) suffisamment comparables à des droites, pour qu'une courbe (C) coupe (S) en un point P unique et pour que l'on puisse assimiler la face 1 à la "face d'entrée" de la surface et la face 2 à sa "face de sortie". Mais il existe aussi des dispositions moins simples. Prenons le cas, fréquemment envisagé, d'une surface fermée sans frontière, par exemple une sphère de centre O : dans un courant divergent depuis O, chaque trajectoire coupe (S) en un seul point, et l'on tend à assimiler naturellement les faces interne et externe de (S) à sa "face d'entrée" et sa "face de sortie" (ce serait l'inverse pour un courant convergent vers O) ; par contre, si le courant traverse de part en part la surface fermée (S), le point M entre par un point de (S) dans le volume qu'elle délimite, puis en sort par un autre point, de sorte que la "face d'entrée" de (S) est aussi sa "face de sortie". De même, une surface pourvue d'une frontière, mais ondulée, peut par exemple être rencontrée trois fois par une trajectoire qui passera successivement de la face 1 à la face 2, puis de la face 2 à la face 1, puis de la face 1 à la face 2 par où sortira enfin le fluide ; mais la surface ondulée (S) peut aussi être croisée quatre fois par la trajectoire (C), et le fluide sera alors entré et sorti par la même face de (S).

Ces difficultés font que pour définir le flux, on ne peut différencier une "face d'entrée" et une "face de sortie" de la surface (S) en se référant à sa forme propre ni au sens d'écoulement du fluide : il faut en réalité distinguer les deux faces par un choix arbitraire. Pratiquement, on indique cette distinction en convenant d'orienter partout dans le même sens — soit du sous-espace 1 vers le sous-espace 2, soit du sous-espace 2 vers le sous-espace 1 — la perpendiculaire à (S) en chaque point P de cette surface (on tendra bien sûr à faire coïncider ce choix avec le mouvement physique du fluide dans les cas simples, ou avec l'existence d'un volume pour les surfaces fermées). Dans ces conditions, à tout champ de vecteurs W (M) et à toute surface élémentaire (δS) qui est une portion de (S) centrée en P peut être associé le flux élémentaire δΦ (P) = w (P) δS , où δS est l'aire de (δS) et où w (P) est la mesure algébrique de la composante w (P) de W (P) suivant la perpendiculaire en P à (S), laquelle, désormais orientée, a été transformée en axe : δΦ (P) est alors considéré comme un flux sortant ou un flux entrant suivant qu'il est positif ou négatif. De même peut-on séparer la surface (S) en deux surfaces complémentaires (S + ) et (S - ) — éventuellement discontinues — , qui regroupent respectivement l'ensemble des surfaces élémentaires (δS) où les flux δΦ (P) sont des flux sortants et des flux entrants : le flux global Φ de W (M) à travers (S) est alors la différence entre le flux sortant Φ + de W (M) à travers (S + ) et la valeur absolue du flux entrant Φ - de W (M) à travers (S - ).


Flux et divergence

Examinons un fluide transportant une propriété identifiable par un grandeur extensive G, dont la densité en chaque point M est, à l'instant t que l'on considère, un nombre µ (M) supposé positif et invariable avec le temps sur la trajectoire suivie par M ; nous noterons D(M) la divergence de la vitesse du fluide en M à l'instant t . La parcelle élémentaire de fluide (δU) centrée en M à cet instant était, à l'instant t - Δ t immédiatement antérieur à t , centrée en un point M', et de M' à M son volume a varié de δU - Δ( δU ) à δU , tandis que la quantité de la grandeur G y a varié de δG - Δ( δG ) à δG , avec δG = µ (M) δU et Δ( δG ) = µ (M) Δ( δU ) ; puisque D(M) = [Δ( δU ) / δU ] / Δ t , on peut aussi écrire que Δ( δG ) = δG D(M) Δ t .

Supposons maintenant que le fluide, à l'instant t , passe à travers une surface fermée sans frontière (S) qui délimite un volume (U) de mesure U ; nous conviendrons d'orienter les perpendiculaires à (S) de l'intérieur vers l'extérieur de (U). La parcelle de fluide identique à (U) à l'instant t peut être divisée en un grand nombre de parcelles élémentaires (δU 1 ), (δU 2 ), (δU 3 )... centrées respectivement en M 1 , M 2 , M 3 ..., et en refaisant le raisonnement précédent pour chacune de ces parcelles munie de l'indice correspondant, on constate qu'entre les instants t - Δ t et t , la quantité G de la grandeur G incluse dans la parcelle (U) a varié de Δ G = [ δG 1 D(M 1 ) + δG 2 D(M 2 ) + δG 3 D(M 3 ) + ...] Δ t , avec G = δG 1 + δG 2 + δG 3 + ... Introduisons alors la "divergence moyenne" en (U) de la vitesse du fluide à l'instant t , définie comme le nombre Ď égal à (1 / G ) [ δG 1 D(M 1 ) + δG 2 D(M 2 ) + δG 3 D(M 3 ) + ...] : on obtient Δ G = G Ď Δ t . (Notons que la valeur de la moyenne Ď est pondérée par la grandeur G.)

Or, si la parcelle (U) de masse constante s'est trouvée en (U') à l'instant t - Δ t , le passage de (U') à (U) peut être décrit comme la combinaison de trois transformations : un déplacement à volume constant entre les instants t - Δ t et t , qui amène (U') en un volume (U'') imbriqué dans (U) sans changer la quantité G' de G contenue dans (U'), un flux Φ concomitant faisant perdre (algébriquement) à la parcelle une quantité Φ Δ t de G affectée à une certaine masse, enfin une transformation instantanée de (U'') à (U) par divergence (sans translations, ni rotations, ni déformations), laquelle restitue la masse initiale de la parcelle en y modifiant le volume, et par suite la quantité de G, qui passe de G' à G ; ainsi peut-on écrire que G = G' + Φ Δ t , d'où la relation Φ = G Ď. Ce résultat peut se détailler ainsi (une fois admise l'hypothèse sur µ (M)) :
 

  • Le flux global de la grandeur extensive G hors d'un volume (U) à un instant t est le produit de la quantité G de G alors contenue dans (U) par la divergence moyenne — pondérée par G — de la vitesse du fluide en (U) à l'instant t .

  •  
  • Si, à l'instant t , cette divergence moyenne de la vitesse est positive, le flux sortant de (U) excède le flux entrant en (U) ; si elle est négative, le flux entrant excède le flux sortant ; si elle est nulle, flux sortant et flux entrant se compensent.


  • Ces énoncés s'appliquent immédiatement à une région (U) "divergente", "convergente" ou "de divergence nulle" dans l'atmosphère en prenant pour grandeur G le volume de l'air lui-même, donc en posant µ (M) = 1 quel que soit M ; ils sont d'ailleurs implicitement admis dans les descriptions de mouvements de l'air présentées par les deux articles de La météo de A à Z relatifs à la divergence et à la convergence : pareils mouvements, proches des limites de la troposphère, opposent alors un flux (sortant ou entrant) qui est horizontal — c'est le flux du vent — et un flux (entrant ou sortant) que porte tantôt une subsidence, tantôt une ascendance.